Principios de teoría óptica elemental y tecnologías aplicadas al diseño de objetivos cinematográficos (II)

Luz y energía

La naturaleza dual de la luz

La primera fotografía de la luz como y como partícula simultáneamente.

Las propiedades de la luz y de la radiación electromagnética en general se estudian en cualquier manual estándar de óptica por lo que únicamente realizaré un brevísimo resumen de las principales y de sus efectos.

Existen numerosas formas de energía, como la cinética o la potencial. No obstante, la que nos interesa es una que toda la materia es capaz de emitir –hasta cierto punto–. Se trata de la energía radiante. Una de sus propiedades esenciales es que puede atravesar el vacío, así como viajar a través de muchos medios sólidos y gaseosos. La energía sonora, en cambio, se bloquea en el vacío.

La visión es el resultado de interacciones entre los fotorreceptores que se encuentran en la retina del ojo y la luz, que es una forma de energía radiante. Las reacciones fotoquímicas resultantes de codifican en forma de impulsos eléctricos para su transmisión y posterior procesado por parte del cortex visual del cerebro.

La energía luminosa se produce a partir de una variedad de reacciones térmicas y de otras fuentes. No es posible explicar algunas de las propiedades relacionadas con la propagación de la luz y sus interacciones con la materia por medio de una única teoría. De ahí que se considere que la luz tiene una naturaleza dual, comportándose o bien como una onda o bien como una partícula estimulada, según resulte apropiado. La mecánica de ondas integra ambas teorías para proporcionar explicaciones unificadas.

Naturaleza de la luz entendida como una onda

FIGURA 1: La onda incluye dos componentes transversales ortogonales (E, eléctrico y B, magnético) y se propaga en el sentido x. La onda también está polarizada linealmente.

Se considera que la luz es una onda transversal con oscilaciones en sentido perpendicular al sentido de la  propagación (Figura 1).

Energías cinética (Ec), potencial (Ep) y mecánica (Em) en el movimiento armónico en función de la elongación.

Un modelo simple (Longhurst, 1967) utiliza partículas que oscilan con Movimiento Armónico Simple (MAS) lineal cuando una función general proporciona el desplazamiento transversal (φ) debido una perturbación viajando con una velocidad c en el sentido x después de que transcurra un tiempo t.

φ = f (ct – x)

La función para una onda esférica en expansión a partir de una fuente puntual tiene una importancia teórica considerable

φ = a/r sen (ωt – Kr)

y para una onda plana,

φ = a sen K (ct – x)

donde a es la amplitud a una distancia unitaria desde la fuente, r es la distancia desde la fuente en el tiempo t, K es una constante y ω = Kc.

En la segunda ecuación, como el sen θ es una función periódica de periodo 2π, las partículas tienen un MAS de periodo 2π/ω y amplitud a/r para una r constante.

Estableciendo una amplitud proporcional a 1/r, y teniendo en cuenta que la intensidad es la proporción del flujo de energía a través de un área unitaria en el sentido de la propagación, y que la energía de una partícula vibrante es proporcional al cuadrado de la amplitud, podemos ver como la intensidad decae en 1/r² (en consonancia con la conocida ley de la inversa del cuadrado para la energía radiante.

Ilustración de la ley de la inversa del cuadrado. Las líneas representan el flujo que emana de una fuente puntual. La densidad de líneas de flujo disminuye a medida que aumenta la distancia.

Todas las partículas oscilan con la misma frecuencia constante, pero se encuentran en etapas diferentes de su movimiento, dependiendo de la distancia r desde la fuente. Por eso decimos que tienen diferentes fases. La fase es (ωt – Kr) de modo que la diferencia de fase entre partículas en r y (r + d) es Kd. Como el sen θ tiene periodo 2π, las partículas están en fase si Kd = 2π, por ejemplo si d = λ donde λ = 2π/K.

La distancia lineal entre partículas en puntos idénticos del ciclo de fase es la longitud de onda, λ.

Longitud de onda en una sinusoide representada por la letra griega λ (lambda)

La recíproca de la longitud de onda es la frecuencia v del movimiento de la onda:

v = 1/λ Hz

Onda que vibra dos veces en un metro, por lo que tiene una longitud de onda de 0,5 m y un número de onda de 2 m-1.

La frecuencia es el número de ciclos de longitud de onda por segundo. El número de onda es el número de ondas por unidad de longitud (cm). La frecuencia es independiente del medio, pero la velocidad, longitud de onda y número de onda varían con el medio. La luz con longitud de onda de 500 nm tiene una frecuencia de 6 x 10⁸ MHz y un número de onda de 20.000 cm^-1.

Frente de onda.

Se define un frente de onda como el conjunto de puntos en los cuales las partículas están en fase, así que una esfera centrada en una fuente radiante puntual es un frente de onda. Un rayo de luz es una línea recta normal al frente de onda. Un conjunto de rayos emanando de un punto son un lápiz, en tanto que un grupo de lápices procedentes de un área finita conforman un haz de luz.

Cuando una fuente puntual emite un frente de onda que encuentra una lente perfecta se enfoca de nuevo en un punto, así que una lente perfecta, libre de aberraciones, emitiría un frente de onda esférico convergente. En la práctica, la mayoría de las lentes presentan aberraciones residuales y en su lugar emiten un frente de onda distorsionado, que aparenta estar “arrugado”. La comparación de esta forma con la esférica ideal puede proporcionar una medida del rendimiento de la lente.

Una onda plana tiene una fase constante sobre cualquier plano perpendicular al sentido de propagación.

Refracción de la luz según el principio de Huygens.

El principio de Huygens sugiere que cada punto de un frente de onda actúa por sí mismo como una fuente puntual de ondículas secundarias y que el efecto final es la suma de tales ondículas, de manera que tanto la propagación rectilínea de la luz a través de aperturas pequeñas como la formación de sombra sólo puede explicarse si consideramos a la luz como un frente de onda.

En un medio material el valor de c, la velocidad de la luz en el vacío, cambia a un valor reducido (v) y la proporción c/v se denomina índice de refracción (n) de ese medio:

n = c/v

En consecuencia

c = vλ

Nótese que tanto la velocidad como la longitud de onda se reducen en el medio, pero la frecuencia es constante.

El valor de c es una constante universal, que se define en la actualidad como 299.792.458 ms^-1, pero se consideran aproximaciones útiles y más prácticas las de otorgarle un valor de 3 x 10¹⁰ cm s^-1 o establecer que la luz viaja a 300 mm (1 pie, para los amantes del infausto, ridículo, obsoleto y siempre ineficaz Sistema Imperial de medidas –que un único país tiene que imponerle a los fabricantes – dado que sus habitantes son incapaces de adoptar el lógico, proporcionado e infinitamente práctico Sistema Métrico, que el resto del planeta utiliza sin esfuerzo alguno desde hace siglos–) en 1 ns (10^-9 s).

Los valores de λ y v varían con el tipo de radiación. La radiación monocromática tiene todas sus ondas a la misma frecuencia. Aunque la radiación se define mejor en términos de frecuencia, se prefiere utilizar el concepto de longitud de onda, porque resulta más sencillo de medir y comprender.

La senda óptica que toma un rayo en un medio es el resultado de multiplicar la distancia geométrica por el índice de refracción. Por lo tanto, para la luz que llega a un punto después de viajar por numerosas rutas y a través de numerosos medios, la diferencia de fase (P) y la diferencia de senda óptica (D) están relacionadas por la siguiente fórmula: 

P = (2π/λ) D

Para considerar los efectos de la interferencia y de la difracción, así como de la luz polarizada, es importante conocer la teoría de la superposición de haces de luz de diferente fase.

El principio de Fermat establece que la senda de rayos que toma una perturbación –desde un punto a otro– es tal que el tiempo que transcurre tiene un valor estacionario. Por lo tanto, en un medio homogéneo, un rayo viaja en línea recta, salvo en el caso de las Ópticas de Gradiente de Índice (GRIN).

Una lente de gradiente de índice, con variación parabólica del índice de refracción (n) en función de la distancia radial (x). La lente enfoca la luz de la misma manera que una lente convencional.

Este principio cumple con las leyes clásicas de reflexión y refracción. Además, la senda óptica que satisface el principio es la que se calcula en la ley de Snell.

Una fuente termal de luz policromática emite una sucesión de trenes de ondas de longitud finita, sin que exista una relación fija entre las fases de los trenes sucesivos. Los cambios de fase tienen lugar de manera aleatoria con cadencias de unos 10⁸ s^-1. A esta clase de fuente se la denomina incoherente. La longitud media de un tren de ondas se llama longitud de coherencia y es muy pequeña. El láser es una fuente de luz altamente monocromática con una longitud de coherencia que puede ser de muchos metros.

Experimento de Young con una fuente de rendija extensa. (e)Representación de cómo las franjas desplazadas con la misma frecuencia espacial se superponen y se combinan para formar una perturbación neta de esta misma frecuencia espacial

Los trabajos teóricos detallados sobre la naturaleza de la luz como onda reemplazan al sencillo modelo de partículas oscilantes por otro que considera a la energía radiante que se propaga como dos ondas armónicas transversales ortogonales que representan campos eléctricos y magnéticos y cuyo comportamiento se generaliza por medio de las ecuaciones de Maxwell.

Flujo eléctrico de una carga puntual en una superficie cerrada

Para los propósitos de la cinematografía, el componente significativo es el del campo eléctrico, ya que la intensidad de la luz es el cuadrado de su amplitud y este se puede detectar con varios fotodetectores (detectores de la ‘ley del cuadrado’). La fase asociada se puede registrar por medio de técnicas holográficas.

El espectro electromagnético

1. La gama completa del espectro

FIGURA 2: Posición del espectro visible y de sus propiedades en relación con otras regiones del espectro completo.

Resulta conveniente clasificar la energía radiante de naturaleza electromagnética –tanto si hablamos de longitud de onda como si lo hacemos de frecuencia– dentro del espectro electromagnético (Figura 2). Muchas de las propiedades de los sistemas que vamos a analizar en esta serie de artículos (como las fuentes de luz, los sistemas de formación de imagen, los filtros o los detectores) se clasifican en referencia a su comportamiento en la región apropiada del espectro electromagnético.

2. El espectro visible

La pequeña banda espectral correspondiente a las longitudes de onda integradas conocidas como “luz blanca” es particularmente estrecha. Las bandas aproximadas correspondientes a los colores se muestran en la Figura 2. El sistema visual humano es bastante pobre a la hora de analizar el espectro de frecuencias. Tanto si un color se sintetiza por medio de un mínimo de tres líneas espectrales como si lo hace por medio de bandas de longitudes de onda, nosotros lo percibimos de idéntica forma. Si realizamos una analogía con términos relativos al sonido, podríamos afirmar que el espectro electromagnético completo cubriría una gama de 70 octavas con un rango de frecuencias de 2⁷⁰ –1, mientras que la luz visible ocuparía menos de una octava desde los 400 a los 700 nm, aproximadamente.

3. Distribución de la potencia espectral

Comparación de la distribución de potencia espectral de varios iluminantes estandarizados CIE en relación con la respuesta fotópica del sistema visual humano.

La luz y las fuentes de radiación de tipo termal emiten energía sobre regiones espectrales extensas o discretas para proporcionar un espectro continuo o por líneas clasificando los movimientos de los electrones que se estimulan en las capas moleculares externas de los materiales. Un gráfico comparativo de la potencia en relación a cada longitud de onda muestra la distribución de la potencia espectral (SPD). Una fuente capaz de emitir en cada longitud de onda es un radiador completo (cuerpo negro). Su SPD se predice en la ley de Planck. Para una temperatura T K y constantes c₁ y c₂

W_λ = c₁ / { λ⁵ [ exp ( c₂ / λ_t ) – 1 ] }

FIGURA 3: Ley de Planck para cuerpos a diferentes temperaturas.

La Figura 3 muestra la SPD de un radiador completo para varias temperaturas de color (T) en grados Kelvin. La emisión máxima cambia a longitudes de onda más cortas con el incremento de T, pero sólo se ubica dentro del espectro visible cuando se alcanza la temperatura de 4000K. La ley de Wien nos proporciona la línea recta que se une al máximo:

λ_max = ( 2898 / T ) μm

Gráfica de una función de la energía total emitida por un cuerpo negro , proporcional a su temperatura termodinámica . En azul está la energía total de acuerdo con la aproximación de Wien, .

La emisión total se relaciona con el área bajo la curva por medio de la Ley de Stefan-Boltzmann:

W_T = σT⁴ W m^-2

Las fuentes de mayor interés para cinematografía son las del sol, la luz incandescente, las lámparas de descarga, las fluorescentes tratadas con fósforo y los diodos emisores de luz (LED).

La constante solar es la potencia radiada que se recibe en un área de 1 m² sobre la atmósfera, y su valor es de aproximadamente 1350 W m^-2.

4. Efecto en los detectores

La radiación electromagnética se detecta y registra por varios medios, dependiendo de la región a la que afecte. Los materiales fotográficos son detectores versátiles y útiles, que utilizan la acción directa de la radiación para formar o bien una imagen latente o bien una imagen de plata fotolítica. También pueden usar medios indirectos como los efectos fluorescentes que se emplean en las radiografías. La sensibilidad espectral natural de una emulsión de haluro de plata alcanza longitudes de onda menores de 500 nm pero se pude extender hasta los 700 nm por medio de procesos de sensibilización de los colorantes para cubrir el espectro visible. Es posible agregar una sensibilización infrarroja adicional hasta los 900 nm y extenderla con técnicas especiales hasta los 1200 nm. Más allá de ese punto, dentro de las bandas espectrales útiles de 3 – 5,5 μm y 8 – 14 μm son necesarios efectos fotoeléctricos utilizando detectores enfriados como el trisulfuro de antimonio (Sb₂S₃) y otros medios.

Otros sistemas de detección incluyen la emisión de fotoelectrones –como la que se emitía desde el fotocátodo de los ya extintos monitores CRT–, la acumulación de carga –como la que se produce en una matriz de Dispositivos de Carga Acoplada (CCD) en el plano focal–, el cambio en la conductividad eléctrica  –como ocurre con los fotoresistores de los Semiconductores Complementarios de Óxido Metálico (CMOS), que constituyen con mucha diferencia la alternativa más utilizada en cinematografía a día de hoy–, los efectos de calentamiento –como en los sensores de termopilas–, etc.

CMOS

La principal peculiaridad de todos los sistemas que no usan materiales fotográficos es que son detectores puntuales, en lugar de detectores de área. La emulsión fotoquímica en el chasis de una cámara emplea un objetivo para formar una imagen plana del sujeto de cara a su registro. Es capaz de registrar de forma simultánea una gama de intensidades en cada exposición. El resto de sistemas, registran la intensidad en un punto, de modo que se debe escanear la escena de manera secuencial o usar una matriz en forma de mosaico o detectores individuales direccionables.

La mayoría de los sistemas de captación de imagen recurren a un sistema óptico, para formar una imagen directamente o para escanear al sujeto en un detector puntual estático, como pequeñas regiones sucesivas. La elección del sistema la determinan las circunstancias, el coste y la logística asociadas al proyecto.

Los medios ópticos, en su mayor parte, sólo son parcialmente transparentes a la gama completa de la radiación electromagnética y muestran fuertes bandas de absorción en regiones específicas. La absorción –por parte de medios como la atmósfera, el agua, el vidrio óptico y los filtros– de la radiación ionizante, ultravioleta, visible, infrarroja y de microondas tiene singular importancia.

Se pueden superar los límites de registro que se establecen por dicha absorción, así como los efectos termales locales, por medio de sistemas de conversión de la imagen. Tales sistemas detectan las longitudes de onda apropiadas y las convierten en luz para su registro fotográfico.

FIGURA 4: Características espectrales de un sistema de formación de imágenes. El sistema está compuesto por una fuente de luz K con filtro F proyectada por la óptica L sobre el detector D. El gráfico muestra una característica espectral S contra la longitud de onda λ; para cada componente como la transmitancia de la óptica o la respuesta general resultante.

Los estudios teóricos de la respuesta general de un sistema de formación de imágenes que incorpore un iluminante, atenuadores, un sistema óptico y un detector pueden considerar en un principio las propiedades espectrales aditivas sucesivas de cada elemento de la cadena para obtener la respuesta espectral combinada (Figura 4)

Naturaleza de la luz entendida como una partícula

A partir de la observación de fenómenos como el efecto fotoeléctrico, la radiación electromagnética parece interactuar con la materia en quanta de contenido de energía fija E

E = hv = hc / λ

donde h es la constante de Planck de valor 6,63 x 10^-34 J s^-1 (1 Julio = 10⁷ ergios). Un cuanto de luz azul tiene, por lo tanto, una energía de 5 x 10^-19 J.

Como unidad de energía, se prefiere utilizar el electronvoltio (eV), que representa el trabajo necesario para mover un electrón a través de una diferencia potencial de 1 voltio. Un electronvoltio es igual a 1.601 x 10^-19 J, de modo que el espectro visible tiene energía en el rango aproximado de 3 – 1,8 eV.

Una fórmula útil de conversión aproximada para expresar E en eV y λ en μm es

E = ( 1234 / λ )

Un milivatio de luz tiene una tasa de energía de alrededor de 6 x 10¹⁵ eV s^-1 transportado por 2 x 10¹⁵ quanta de luz azul o 3,2 x 10¹⁵ fotones s^-1 en el caso de un láser de helio-neón (He-Ne) de potencia media similar.

Gráfico del Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

La luz no se observa como una única longitud de onda. De acuerdo al Principio de Incertidumbre tiene un ancho de banda de frecuencia finita (Δv) y por tanto una extensión correspondiente en longitud de onda (Δλ). Esto significa que un “paquete de onda”, fotón o cuanto tiene una longitud finita Δx. Por consiguiente, un fotón tarda un tiempo Δt para pasar un punto en el espacio y

ΔvΔt ≈ ( 1 / 2π )

Para fuentes coherentes, la longitud de coherencia L es la distancia sobre la que se mantiene la relación de fase y 

L = cΔt

Un láser He-Ne con un ancho de banda de unos 1200 MHz de frecuencia tiene en consecuencia una longitud de coherencia de alrededor de 25 m, reducida en la práctica a 1 m o menos por inestabilidades.

La sensación visual de luminosidad la proporciona la visión escotópica (bastones) en su límite más bajo, por medio de destellos de luz con energía de entre 2 a 6 x 10^-19 J, con un 50% de probabilidades de obtener visibilidad. Un fotón a 510 nm tiene una energía de 3,9 x 10-19 J transportada por alrededor de entre 50 a 150 fotones, de los cuales entre 5 y 15 resultan verdaderamente efectivos para la percepción. Es posible detectar un fotón visualmente.

Fotometría

Funciones de luminosidad de las curvas fotópica (adaptada para el día, en negro) y escotópica (adaptada a la oscuridad, en verde). El eje horizontal representa longitudes de onda expresadas en nm.

La fotometría es la medición de la energía luminosa y constituye una especialidad dentro de la ciencia de la radiometría, que es la medición de la radiación electromagnética en general (y cuya unidad básica es el vatio). La fotometría usa diferentes unidades y requiere que los detectores para la medición  tengan una respuesta espectral similar a la del Observador Estándar CIE (fotópico). El flujo luminoso es la tasa del flujo de energia radiante que produce sensación visual. Su unidad es el lumen (lm), que es el flujo luminoso que emite una fuente puntual uniforme con una intensidad luminosa de una candela (cd) en una unidad de ángulo sólido (un estereorradián). La intensidad luminosa es el flujo luminoso que se emite por estereorradián en una dirección dada. La iluminación (E) de una superficie es el flujo luminoso incidente por unidad de superficie. La unidad es un lumen por metro cuadrado, o lux. La luminancia (brillo) de una superficie que constituya una fuente de luz, ya sea emitiéndola o reflejándola, es la intensidad luminosa por unidad de superficie aparente, medida en candelas por metro cuadrado (cd m^-2 o nits). Una superficie uniformemente difusa  presenta en apariencia el mismo brillo desde cualquier ángulo de visión relativo a la normal.

La luminancia está relacionada con la reflectividad de la superficie y la oblicuidad y distancia del iluminante. La siguiente formula nos proporciona la luminancia (L) de una superficie uniformemente difusa con un factor de reflexión R, iluminada por una fuente puntual a una distancia d con un ángulo θ con respecto a la normal:

L = [ ( ER cos θ ) / d² ] cd m^-2